数学

円周率?πってなんだろう?3.14…とはなにか。図形を使って理解してみようもじゃ!

円周率?πってなんだろう?3.14…とはなにか。図形を使って理解してみようもじゃ!

円周率のπとはなにもじゃ?

円周率、π、3.14…とよく聞くけど、円周率がどのように求められているのか知ってるもじゃ?
そういわれてみると、計算時にπとか、3.14…とか使うけど、どのようにその値が出ているのかは知らないのではないもじゃ?

もじゃめ
もじゃめ
イメージの理解を目的とした内容にするもじゃよ!
闇もじゃめ
闇もじゃめ
3.141592653589793238462…

円周率とは、円の直径に対する円周の長さの比のことを指すもじゃね!

円周率とは、簡単に言えば長さの比のことを指してるもじゃね!
ギリシャ文字で言えば、πもじゃ!
数学だけでなく、物理や工学といった様々な分野に出現する、重要なものもじゃ!

もじゃめ
もじゃめ
長さの比が大事もじゃよ!
闇もじゃめ
闇もじゃめ
なんの長さの比が大事なのかわからないもじゃ…
謎もじゃめ
謎もじゃめ
円の直径」と「円周の長さ」の比…だった気がするもじゃ。

謎もじゃめの言うとおり、「円の直径に対する円周の長さの比」が円周率を指すもじゃ!

もじゃめ
もじゃめ
赤い線が「円周」もじゃね!紫の線が「直径」もじゃよ!

直径は、直線だから、長さを求めるのは苦じゃなさそうもじゃ!
でも、赤い線(円周)の長さはどうやって求めるのもじゃ?

闇もじゃめ
闇もじゃめ
忘れたもじゃ…復習しなきゃもじゃ…

小学校で円周率πを習ったと思うもじゃけど、そのときは、

円周の長さ=π×直径

と教わったと思うもじゃ(または、πではなく、3.14をかけると習ったもじゃかもね…)

闇もじゃめ
闇もじゃめ
円周の長さを求めるのにπが必要…でもそのπが知りたいから…もじゃああああああ(爆発)
もじゃめ
もじゃめ
「円周の長さ」を「直径」で割れば「π」が求まるもじゃね!

つまり、πってのは、円周の長さを直径で割れば出てくる数字もじゃね!となったのはいいが、だから円周の長さがわからないんもじゃ!!!!といったりきたりしちゃうもじゃね。

闇もじゃめ
闇もじゃめ
どうしたらいいもじゃ…
円周を求めるにはπを使わないといえないし…
でも、今はなんで3.14…となるか知りたいし…
困ったもじゃもじゃもじゃ…
もじゃめ
もじゃめ
では、一旦、円で考えるのはやめるもじゃ!
円に似た図形
で考えてみようもじゃ!

正三角形と円をみながら、円周率を考えてみるもじゃよ!

さて、円を意識しながらも、正多角形(正三角形から)を使って考えるもじゃよ!

はい!正三角形をみてみようもじゃ!

もじゃめ
もじゃめ
正三角形は、3辺の長さが等しくて、1つの内角が60°もじゃね!

うーん、うーん…とてもじゃないけど、円には見えないもじゃ。
三角形は、三角形もじゃ。
では、円に接する三角形を準備するもじゃね。

闇もじゃめ
闇もじゃめ
円と正多角形を比べながら説明してくれないと、とてもじゃないが正三角形は円に似ているとは言えないもじゃ…

じゃじゃん!どうもじゃ?
赤い部分の長さ(円周といいたいけど、辺の長さのこともじゃね)と青い部分の長さ半径の長さ)がわかりたいもじゃね!

光もじゃめ
光もじゃめ
円に内接する正多角形から考えるもじゃね!!!

じゃあ、上の青線と水色線のある直角三角形を抜き出すもじゃね!

この三角形は、特別な三角形もじゃね!
特別な三角形に気づけると、計算が楽になってうれしいもじゃ!
そうすると、半径を2とした場合、赤い線は√3となるもじゃ!
(ここで、√3は1.732として考えるもじゃね)

もじゃめ
もじゃめ
きっちりと計算するのは、また今度にするもじゃ!
感覚で、なるほどと理解することに重点を置いていくもじゃよ!

では、赤線は、1.732に6をかけて、10.392となるもじゃ!
青い線は半径だったから、直径は4もじゃね!

光もじゃめ
光もじゃめ
円周の長さ(ここでは辺の合計の長さ)」を「直径の長さ」で割るもじゃね!

となると、10.392÷4は、2.598となるもじゃ!
正三角形だと、3にすら到達していないもじゃね…

次は、正六角形と円をみながら考えてみようもじゃ!

では、次は正六角形で考えてみるもじゃ!
円に内接した正六角形を準備するもじゃよ!

闇もじゃめ
闇もじゃめ
正三角形よりは、円に近い気がしてきたもじゃね…

どうもじゃ?正六角形だと、三角形よりも円に見えてきたもじゃ?
正六角形の中に、正三角形が6つみえるもじゃ???
1辺の長さを1とした場合、直径は3、周の長さは6もじゃね!

闇もじゃめ
闇もじゃめ
正六角形って、便利な図形もじゃね…

つまり、周を直径でわると、6÷2=3もじゃね!円周率であるπに近づいてきたような気がするもじゃね!
さて、図形としては、最後にするもじゃね!

最後に、正十二角形と円をみていくもじゃよ!

正十二角形は、もはや円にみえなくもないもじゃね!

光もじゃめ
光もじゃめ
段々と円に見えてきたもじゃね!!!

正十二角形を準備したもじゃ!
上図の灰色の三角形に着目して考えてみたいもじゃ!

もじゃめ
もじゃめ
なんとなく理解を目指すところなので、ちょっとズルしちゃうもじゃね!

「円に内接する正多角形」計算ツールはこちらを使用したもじゃよ!

計算方法については、また別途解説したいもじゃので、
今は円の半径を1としたときに、赤線1本の長さが0.517になったとしてほしいもじゃ!(ごめんね)

闇もじゃめ
闇もじゃめ
雰囲気で理解もじゃね…学ぶきっかけとなってくれればいいもじゃ…!

そうすると、正十二角形の周の長さは、0.517×12で、6.204となるもじゃ!
これを直径2で割ると、
3.102となったもじゃね!だいぶ3.14に近づいてきたもじゃ!

このように、頂点を増やし、円に近づけていけば、πとはなんぞやと理解できるもじゃね!

最後もじゃよ!

先ほどの計算ツールで、例えば、1辺の長さが1としたときの「正三百六十角形」の周の長さは、6.283105559となるもじゃ。
それを直径2で割ると、3.14155278となるもじゃ!
いろいろな正多角形で計算してみてもじゃ!3.14に非常に近くなってくることがわかるもじゃよ!

もじゃめ
もじゃめ
計算ツールは下にまたリンクをはっておくもじゃね!「

計算ツールはこちらからもじゃ!
生活や実務に役立つ高精度計算サイト「keisan」

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